ගණිත අභ්‍යුහනය මූලධර්මය භාවිතයෙන්, සියලු $n \in \mathbb{Z}^{+}$ සඳහා $\sum_{r=1}^{n} (4r+1) = n(2n+3)$ බව සාධනය කරන්න.

එක ම රූප සටහනක $y = 3|x - 1|$ හා $y = |x| + 3$ හි ප්‍රස්තාරවල දළ සටහන් අඳින්න. ඒනයින් හෝ අන් අයුරකින් හෝ, $3|2x - 1| > 2|x| + 3$ අසමානතාව සපුරාලන $x$ හි සියලු ම තාත්වික අගයන් සොයන්න.

එක ම ආගන්ඩ් සටහනක,

• (i) $\text{Arg}(z+1-3i) = -\frac{\pi}{4}$
• (ii) $|z-2| = \sqrt{2}$

සපුරාලන $z$ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නිරූපණය කරන ලක්ෂ්‍යවල පථයන්හි දළ සටහන් අඳින්න.ඒ නයින්, මෙම පථයන්හි ඡේදන ලක්ෂ්‍ය මගින් නිරූපණය කරනු ලබන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලියා දක්වන්න.

n $\in \mathbb{Z}^{+}$ යැයි ගනිමු. $x$ හි ආරෝහණ බලවලින් $(1 + x)^n$ හි ද්විපද ප්‍රසාරණය ලියා දක්වන්න. ඉහත ප්‍රසාරණයේ අනුයාත පද දෙකක සංගුණක සමාන නම්, $n$ ඔත්තේ වන බව පෙන්වන්න.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{\sqrt{3x} - \sqrt{\pi}} = \frac{2\sqrt{\pi}}{3}$ බව පෙන්වන්න.

$y = \frac{e^x}{1+e^x}$ , $x = 0$, $x = \text{ln } 3$ හා $y = 0$ වක්‍ර මගින් ආවෘත වන පෙදෙස $x$-අක්ෂය වටා රේඩියන $2\pi$ වලින් භ්‍රමණය කරනු ලැබේ. මෙලෙස ජනනය වන ඝන වස්තුවේ පරිමාව $\frac{\pi}{4}(4\text{ln}2 - 1)$ බව පෙන්වන්න.

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ ඉලිප්සයට එය මත $P = (5\cos\theta, 3\sin\theta)$ ලක්ෂ්‍යයේ දී වූ අභිලම්බ රේඛාවෙහි සමීකරණය $5\sin\theta x - 3\cos\theta y = 16\sin\theta\cos\theta$ බව පෙන්වන්න.ඉහත ඉලිප්සයට එය මත $(\frac{5}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ ලක්ෂ්‍යයේ දී ඇඳි අහිලම්බ රේඛාවේ $y$–අන්තඃඛණ්ඩය සොයන්න.

$m \in \mathbb{R}$ හා $l$ යනු $A \equiv (1, 2)$ ලක්ෂ්‍යය හරහා යන අනුක්‍රමණය $m$ වූ සරල රේඛාව යැයි ගනිමු. $l$ හි සමීකරණය $m$ ඇසුරෙන් ලියා දක්වන්න. $B \equiv (2, 3)$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට $l$ රේඛාවට ඇති ලම්බ දුර ඒකක $\frac{1}{\sqrt{5}}$ බව දී ඇත. $m$ හි අගයන් සොයන්න.

කේන්ද්‍රය $(-2, 0)$ ලක්ෂ්‍යයෙහි තිබෙන හා $(-1, \sqrt{3})$ ලක්ෂ්‍යය හරහා යන $S$ වෘත්තයේ සමීකරණය සොයන්න. $A \equiv (1, -1)$ ලක්ෂ්‍යයේ සිට $S$ වෘත්තයට ඇඳි ස්පර්ශකවල ස්පර්ශ ජ්‍යායේ සමීකරණය ලියා දක්වන්න. ඒ නයින්, $A$ සිට $S$ ට ඇඳි ස්පර්ශකයන්හි ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යවල $x$− ඛණ්ඩාංක $5x^2 + 8x + 2 = 0$ සමීකරණය තෘප්ත කරන බව පෙන්වන්න.

$n \in \mathbb{Z}$ සඳහා $\theta \neq (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ යැයි ගනිමු. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ සර්වසාම්‍යය භාවිතයෙන්, $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$ බව පෙන්වන්න. $\sec\theta + \tan\theta = \frac{4}{3}$ බව දී ඇත. $\sec\theta - \tan\theta = \frac{3}{4}$ බව අපෝහනය කරන්න. ඒ නයින්, $\cos\theta = \frac{24}{25}$ බව පෙන්වන්න.

1. $f(x) = x^2 + px + c$ හා $g(x) = 2x^2 + qx + c$ යැයි ගනිමු; මෙහි $p,q \in \mathbb{R}$ හා $c>0$ වේ. $f(x) = 0$ හා $g(x) = 0$ සඳහා $\alpha$ පොදු මූලයක් ඇති බව දී ඇත. $\alpha = p - q$ බව පෙන්වන්න. $p$ හා $q$ ඇසුරෙන් $c$ සොයා,

• (i) $p > 0$ නම් $p < q <2p$ බව,
• (ii) $f(x) = 0$ හි විවේචකය $(3p - 2q)^2$ බව

අපෝහනය කරන්න. $\beta$ හා $\gamma$ යනු පිළිවෙළින් $f(x) = 0$ හි හා $g(x) = 0$ හි අනික් මූල යැයි ගනිමු. $\beta = 2\gamma$ බව පෙන්වන්න. තව ද $\beta$ හා $\gamma$ මූල වන වර්ගජ සමීකරණය $2x^2 + 3(2p-p)x + (2p-q)^2 = 0$ මගින් දෙනු ලබන බව පෙන්වන්න.

2. $h(x) = x^3 + ax^2 + bx+c$ යැයි ගනිමු; මෙහි $a, b, c \in \mathbb{R}$ වේ. $x^2 - 1$ යන්න $h(x)$ හි සාධකයක් බව දී ඇත. $b = -1$ බව පෙන්වන්න. $h(x)$ යන්න $x^2 - 2x$ මගින් බෙදූ විට ශේෂය $5x + k$ බව ද දී ඇත; මෙහි $k\in \mathbb{R}$ වේ. $k$ හි අගය සොයා $h(x)$ යන්න $(x-\lambda)^2 (x - \mu)$ ආකාරයෙන් ලිවිය හැකි බව පෙන්වන්න; මෙහි $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ වේ.